MySQL trova tutti i genitori ricorsivamente

Lascia che ti dia un'idea. Crea una funzione che ottenga il parent_id da un determinato ID un certo numero di volte, chiamiamola generazione. Cat10 generazione 1 sarebbe genitore che è CAT5 generazione 2 sarebbe CAT3 e così via.

DROP FUNCTION IF EXISTS getNameIdGeneration;
DELIMITER $$
CREATE FUNCTION getNameIdGeneration(idPar int, generationPar int)
  RETURNS VARCHAR(1000) READS SQL DATA
BEGIN
  DECLARE auxLoopVar INT default 0;
  DECLARE parentIdVar INT default idPar;  
  DECLARE nameVar VARCHAR(1000) default NULL;

  count_loop: LOOP    
    SELECT parent_id INTO parentIdVar FROM Category_parent WHERE Category_id = parentIdVar;
    SET auxLoopVar = auxLoopVar + 1;        
    IF auxLoopVar >= generationPar THEN
      LEAVE count_loop;
    END IF;    
  END LOOP;
  SELECT name INTO nameVar FROM Category WHERE id = parentIdVar;

  RETURN nameVar;
END;
$$
DELIMITER ;

supponendo che Category_Id per CAT10 =10 se si testa la funzione data

select getNameIdGeneration(10, 2);

CAT3

Ora tutto ciò di cui hai bisogno è una tabella che contenga l'id del CAT di cui vuoi conoscere il lignaggio

MariaDB [mydatabase]> select * from test;
+-------------+------------+
| category_id | generation |
+-------------+------------+
|          10 |          1 |
|          10 |          2 |
|          10 |          3 |
+-------------+------------+

MariaDB [mydatabase]> select generation, getNameIdGeneration(category_id, generation) as Name from test;
+------------+------+
| generation | Name |
+------------+------+
|          1 | CAT5 |
|          2 | CAT3 |
|          3 | CAT1 |
+------------+------+
3 rows in set (0.00 sec)