ALTER TABLE Client CHANGE idClient
idClient INT AUTO_INCREMENT PRIMARY KEY;
Quindi, quando inserisci nella tabella, escludi la colonna della chiave primaria a incremento automatico dal tuo inserto:
INSERT INTO Client (name, address, country)
VALUES ('name', 'address', 'country')...;
Verrà generato il nuovo valore di idClient.
Questo è l'unico modo per farlo in modo sicuro se sono presenti più istanze di un'applicazione che inserisce righe contemporaneamente. L'utilizzo del metodo MAX(idClient) che descrivi non funzionerà, perché è soggetto a condizioni di gara.