Come posso strutturare la mia app express in cui devo aprire una connessione mongodb solo una volta?

Un'altra soluzione è passare il database al router tramite richiesta, come questa:

app.js

var db = openDatabase();

var app = express();

app.all('*', function(request, response, next)
    {
    request.database = db;
    next();
    });

app.get('/api/user/:id', Users.getByID);

users.js

var Users =
    {
    getByID: function(request, response)
        {
        request.database.collection('users').findOne(...)
        response.send(user);
        }
    };

module.exports = Users;