Conta gli eventi e inserisci una stringa letterale durante l'aggregazione

puoi farlo con l'aggregazione in questo modo:

db.user.aggregate([
   {
      $match:{
         $and:[
            {
               timestamp:{
                  $gte: ISODate("2016-10-12T00:00:00.000Z")
               }
            },
            {
               timestamp:{
                  $lt: ISODate("2016-10-13T00:00:00.000Z")
               }
            }
         ]
      }
   },
   {
      $group:{
         _id:"$userId",
         timestamp:{
            $first:"$timestamp"
         },
         send_message:{
            $sum:{
               $cond:[
                  {
                     $eq:[
                        "$event_type",
                        "send_message"
                     ]
                  },
                  1,
                  0
               ]
            }
         },
         clicked_cancel:{
            $sum:{
               $cond:[
                  {
                     $eq:[
                        "$event_type",
                        "clicked_cancel"
                     ]
                  },
                  1,
                  0
               ]
            }
         },
         clicked_ok:{
            $sum:{
               $cond:[
                  {
                     $eq:[
                        "$event_type",
                        "clicked_ok"
                     ]
                  },
                  1,
                  0
               ]
            }
         }
      }
   },
   {
      $project:{
         date:{
            $dateToString:{
               format:"%Y-%m-%d",
               date:"$timestamp"
            }
         },
         userId:1,
         clicked_cancel:1,
         send_message:1,
         clicked_ok:1
      }
   }
])

spiegazione:

conserva solo il documento per un giorno specifico in $match fase

raggruppa doc per userId e conta le occorrenze per ogni evento in $group fase

infine formatta il campo timestamp in aaaa_MM-gg formato in $progetto fase

per i dati che hai fornito, questo produrrà

{
   "_id":"123123123",
   "send_message":0,
   "clicked_cancel":1,
   "clicked_ok":1,
   "date":"2016-10-12"
}