Inoltre questa non è la risposta esatta che stai cercando, ma puoi andare abbastanza vicino con $in operatore:
db.i.find({
children : { $in : arr}
})
Tieni presente che questo non produrrà il risultato sopra menzionato (riuscirà in output tutti i valori nell'array e non {_id:"1",children:["1.1"]}, ).
Ma puoi fare ciò che ho suggerito e dopo questo nella tua applicazione scorrere tutti i risultati e produrre solo l'intersezione di bambini con il tuo array.
