Aggiornamento di un sottocampo in un documento mongoDB utilizzando findOne e save

Perché il tuo schema definisce a come oggetto generico, quel campo viene trattato come Mixed digita per Mongoose e devi contrassegnarlo come modificato chiamando markModified o save ignorerà la modifica.

obj.markModified('a');
obj.save(function(err,real){ ...

Vedi la discussione su Mixed digita su questa pagina dei documenti.