Impossibile connettersi a localDB in VS2012 – Si è verificato un errore relativo alla rete o specifico dell'istanza durante la creazione di una connessione a SQL Server...

C'è qualche possibilità che sia perché ti sei dimenticato di evitare la barra rovesciata? Hai provato questo:

"Data Source=(LocalDB)\\v11.0;Integrated Security=true"

O ancora meglio, potresti semplicemente usare il @ contrassegna per disabilitare l'escape dei caratteri per l'intera stringa di connessione:

@"Data Source=(LocalDB)\v11.0;Integrated Security=true"