Non riesco a capire come aggiornare il mio ultimo tempo di accesso

Nella tua domanda qui:

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Prova a rimuovere le virgolette intorno a date_last_inlog o modificandoli in backtick:

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Inoltre, non utilizzare mysql_* funzioni, usa mysqli o PDO invece. Il tuo codice è vulnerabile a SQL injection.