Come posso verificare se MySQL e Tomcat sono in esecuzione?

Il modo più semplice sarebbe semplicemente connettere il server e vedere se ha successo.

MySQL:

Connection connection = null;
try {
    connection = DriverManager.getConnection(url, username, password);
    // Succes!
} catch (SQLException e) {
    // Fail!
} finally {
    if (connection != null) try { connection.close(); } catch (SQLException ignore) {}
}

Tomcat:

try {
    new URL(url).openConnection().connect();
    // Succes!
} catch (IOException e) {
    // Fail!
}

Se desideri uno stato un po' più specifico, ad es. verificando se una determinata tabella DB è disponibile o una specifica risorsa webapp è disponibile, devi attivare un SELECT più specifico rispettivamente istruzione o richiesta HTTP.