dichiarazione fail execute con php e mysql

Devi usare GROUP BY se vuoi usare COUNT(*) , ma puoi ottenere il numero di righe con mysql_num_rows() così.

$result=mysql_query("SELECT * AS Result FROM users WHERE user_name='$user_name' AND pass='$password_hash' LIMIT 1") or die(mysql_error());
$num_rows = mysql_num_rows($result);