1. Sì, puoi avere più connessioni al database. Non stai aprendo un database, stai aprendo una connessione al database. Il database è "aperto" (cioè in esecuzione) tutto il tempo, in generale, indipendentemente dal fatto che tu sia connesso o meno.
2. Dipende... se hai solo una connessione aperta su una pagina, non è necessario chiuderla perché si chiuderà automaticamente al termine di PHP. Se ne hai molti, potresti potenzialmente rallentare il server del database o far esaurire le connessioni disponibili al server del database (può avere solo un certo numero di connessioni aperte contemporaneamente). Detto questo, i server di database più moderni possono gestire centinaia di connessioni simultanee.
3. Facoltativo, ma consigliato. Non è un grosso problema per i progetti medio-piccoli (ad esempio, se hai meno di 100 visitatori simultanei in un dato momento, probabilmente non avrai problemi a prescindere). Dato che hai molte migliaia di visitatori al minuto, dovresti chiudere attivamente la connessione al database non appena hai finito, per liberarlo il prima possibile.