la tabella viene specificata due volte sia come destinazione per INSERT che come origine dati separata

MySQL lo fa consentire l'utilizzo della stessa tabella per l'origine e la destinazione per inserts . Devi solo usare la sintassi corretta:

INSERT INTO data_waktu_vaksinasi (id_binatang, id_vaksin, tanggal_vaksin, status_vaksin) 
     SELECT 1, 1, DATE_ADD(max(tanggal_vaksin), INTERVAL 1 YEAR), 'belum'
     FROM data_waktu_vaksinasi;