Puoi ottenere il primo del mese, calcolando l'ultimo_giorno del mese precedente e aggiungendo un giorno. È imbarazzante, ma penso sia meglio che formattare una data come stringa e usarla per il calcolo.
select
*
from
yourtable t
where
/* Greater or equal to the start of last month */
t.date >= DATE_ADD(LAST_DAY(DATE_SUB(NOW(), INTERVAL 2 MONTH)), INTERVAL 1 DAY) and
/* Smaller or equal than one month ago */
t.date <= DATE_SUB(NOW(), INTERVAL 1 MONTH)