AJAX aggiorna il database MYSQL utilizzando la funzione chiamata da HTML generato da PHP

Ci sono alcuni errori in questo codice, lascia che ti aiuti riga per riga.

echo "<td> <img id='tblimg' 
onclick=\'like('" . $row['Username'] . "');\' 
src='like.jpg' alt='like/dislike image' 
width='80px' height='30px'></td>";

La funzione javascript è:

Evita prima le tue citazioni per l'evento onclick

    function like(user) 
    {

        $.ajax({
            url: "update.php",
            type: "POST",
            data: { 'username': user, 'liked': '1' },                   
            success: function()
                        {
                            alert("ok");                                    
                        }
        });
    }

aggiungi { e } alla chiamata ajax

Rimuovi le virgolette dal nome della tabella e dai campi

$sql = "UPDATE followers SET Liked = '$Liked' WHERE Username = '$Username'";

in ajax success e dopo l'inizio della funzione, puoi sempre stampare un messaggio per vedere se la tua funzione è stata chiamata e se lo script php restituisce qualche errore, usa un avviso per quello

AGGIORNAMENTO

success: function(data){
   alert(data); // this will print you any php / mysql error as an alert                                    
}

AGGIORNAMENTO 2

Scrivi la tua opzione onclick in questo modo.

echo "<img onclick=\"like('" . $row['Username']. "');\" 
src='like.jpg' alt='like/dislike image' 
width='80px' height='30px' />";