Come faccio a visualizzare un errore MySQL in PHP per una query lunga che dipende dall'input dell'utente?

Usa questo:

mysqli_query($this->db_link, $query) or die(mysqli_error($this->db_link)); 
# mysqli_query($link,$query) returns 0 if there's an error.
# mysqli_error($link) returns a string with the last error message

Puoi anche usarlo per stampare il codice di errore.

echo mysqli_errno($this->db_link);

Dai un'occhiata qui e qui