Come concedere autorizzazioni di accesso remoto al server MySQL per l'utente?

Ciò garantisce l'accesso root con la stessa password da qualsiasi macchina in *.example.com :

GRANT ALL PRIVILEGES ON *.* TO 'root'@'%.example.com' 
    IDENTIFIED BY 'some_characters' 
    WITH GRANT OPTION;
FLUSH PRIVILEGES;

Se la risoluzione dei nomi non funziona, puoi anche concedere l'accesso tramite IP o sottorete:

GRANT ALL PRIVILEGES ON *.* TO 'root'@'192.168.1.%'
    IDENTIFIED BY 'some_characters'  
    WITH GRANT OPTION;
FLUSH PRIVILEGES;

MySQL GRANT documenti di sintassi.