Come posso fare una query con mongoose da una funzione usando un parametro?

Usa la notazione parentesi per creare l'oggetto query in modo dinamico, in modo da poter ristrutturare la tua funzione come segue:

function _partialSearch (Model, searchText, key, res) {
    var search = new RegExp(searchText, "i"),
        query = {};
    query[key] = { $regex : search };

    Model.find(query)
         .exec(function (err, docs) {
            if(err) log(err);
            else {
                res.json(docs);
            }
         });
}