La traccia dello stack degli errori angolari è molto chiara.
Non gestisci questo endpoint specifico per la tua query POST nel tuo router express.
Quindi il server genera un errore 404 , come dovrebbe.
Prova qualcosa del genere:
router
.post('/api/users', function (req, res) {
// do what you want with your user here
})
Con express (e NodeJS) devi specificare esplicitamente ogni accesso alle risorse del server.
Come nota a margine, sei abbastanza vicino a questo, ma cerca di mantenere la logica dell'applicazione semplice per la manutenzione.