Questo è un problema di autorizzazioni, stai eseguendo come utente mongod (o mongodb ecc.) quando avvii tramite il servizio e probabilmente stai eseguendo come root (lo confermi nei commenti sopra) quando stai usando sudo o invocando come root. Devi correggere i permessi per tutti i file in quella cartella e non avviare il servizio come root, mai.
Per correggere i file in base a ciò che hai pubblicato, supponendo che il tuo utente rilevante sia mongodb e il gruppo sia mongodb, dovresti fare quanto segue con sudo (o come root) - sostituisci l'utente appropriato per il tuo sistema:
chown -R mongodb:mongodb /var/lib/mongo
chown -R mongodb:mongodb /var/run/mongodb
chown mongodb:mongodb /var/log/mongo/mongod.log
Dopo aver corretto le autorizzazioni su queste cartelle, dovresti essere in grado di ricominciare tramite il servizio. Nota:se pubblichi l'output di ls -al /var/lib/mongo quindi posso darti i comandi esatti che devi eseguire
