L'utilizzo di $ esiste in un'espressione MongoDB

Dovrai usare $or operatore logico per farlo.

{
   "$or": [
      {
         "$expr": {
            "$ne": [
               "$firstName",
               "$lastName"
            ]
         }
      },
      {
         "fullName": {
            "$exists": true
         }
      }
   ]
}

L'ultima query non è riuscita perché mongod pensa che $exists è l'espressione che stai passando al $expr operatore.