Ho appena replicato lo scenario del tuo caso d'uso e ho collegato correttamente un database Cloud SQL da un progetto con un Cloud App Engine da un altro progetto.
I passaggi per riprodurlo sono i seguenti:
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Creato un database Cloud SQL Postgresql con IP pubblico.
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Ho creato le tabelle per la mia applicazione
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Abilita l'API Cloud SQL nel secondo progetto in cui voglio ospitare il lato App Engine.
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Distribuito un'applicazione App Engine in un secondo progetto utilizzando questo Google Cloud Repo
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Concedi l'autorizzazione all'account di servizio del progetto con App Engine nel progetto con Cloud SQL seguendo questo Utilizzo di Cloud SQL per la guida PostgreSQL
Durante la mia riproduzione ho riscontrato il possibile problema che hai riscontrato. Probabilmente non hai abilitato l'API del secondo progetto (quello che ospita solo l'App Engine).
Per verificarlo devi solo accedere alla macchina che ospita il motore dell'app, quindi eseguire docker ps -a per ottenere l'ID del contenitore Docker che ospita il cloud-sql-proxy . Quindi, usando quell'id, esegui docker logs -f ID_OF_THE_CONTAINER e vedrai se hai un errore nel tuo proxy Cloud SQL. Se hai l'API disabilitata, abilitala e distribuiscila di nuovo.
