Avviso PHP:offset non definito

L'errore

Notice: Undefined offset

in sostanza sta dicendo che hai tentato di fare riferimento a un valore di un array che non esiste.

Esaminando il tuo codice, ci sono due possibili casi in cui ciò può accadere, primo $_POST['checkbox'] e il secondo $checked[$i] .

Puoi risolvere questo errore con qualcosa del genere

if (isset ($_POST['submit']))
{
   $checked = isset($_POST['checkbox']) ? $_POST['checkbox'] : null;
   if (is_array($checked))
   {
     foreach ($checked as $check)
     {
        $result = mysql_query("UPDATE trace SET status='Delivered' WHERE id='$check'") or die(mysql_error());
     }
   }
}

Tieni presente che il codice sopra non deve essere utilizzato in produzione in quanto non è sicuro.

Nota anche che mysql_ le funzioni sono deprecate. Usa PDO o mysqli per le query del database.