Quindi fondamentalmente qualcosa come il seguente dovrebbe funzionare:
DB::table('departments')
->join('users','users.dept_id','=','departments.id')
->join('absences','users.id','=','absences.user_id')
->select('departments.id','departments.deptStringName', DB::raw("COUNT(*)"))
->groupBy('departments.id','departments.deptStringName')
->get();
Nota:quando si esegue il raggruppamento per è necessario raggruppare in base ai valori univoci della riga (ad es. l'identificatore). Se è garantito che i nomi dei tuoi dipartimenti siano univoci, puoi omettere completamente la selezione e il raggruppamento per department.id.