Aggiunto mysql jar a lib ma ancora di fronte alla classe non è stata trovata un'eccezione nella distribuzione locale su Tomcat che lavora tramite intelliJ?

Hai il provided ambito per il jar del driver jdbc. In questi casi non viene copiato nell'artefatto distribuito su Tomcat. Devi specificarlo come compile ambito.

Puoi anche aggiungere il jar del percorso di classe tomcat come descritto qui https://stackoverflow.com/a/7198049 /2000323 per tutte le applicazioni. Quindi devi specificare l'ambito come provided in modo che lo stesso jar non venga distribuito due volte.