Come aggiornare il database controllando la casella di controllo con jquery?

Ce l'hai quasi. devi solo leggere lo stato della tua casella di controllo e rispedircela con la tua richiesta POST.

$(function(){
    $("#myonoffswitch").click(function(){
        var isOn = $("#myonoffswitch").prop("checked");
        $.post("notification.php", { 'onoffswitch': isOn }, function (result) {
            //handle success here
        });
    });