Laravel (5.3) Eloquente - Problema di relazione

Puoi provare come:

// returns array of genre_ids associate with the TheMovies.id => 1

$genre_ids = TheGenres::whereHas('TheMovies', function($q) {
    $q->where('id', 1);
})->pluck('id')->toArray();

Quindi usa quei $genre_ids per recuperare i relativi filmati come:

TheMovies::whereHas('TheGenres', function($q) use($genre_ids) {
    $q->whereIn('id', $genre_ids);
})->get();

Aggiorna

Supponendo che tu abbia:

$genre_ids = [21, 23];

quindi la tua query può essere come:

TheMovies::whereHas('TheGenres', function($q) use($genre_ids) {
    $q->whereIn('genreID', $genre_ids)
        ->groupBy('movieID')
        ->havingRaw('COUNT(DISTINCT genreID) = 2');
})->get();

Nota:non l'ho testato ma puoi provarlo.