Come creare una tabella pivot in Laravel

Prima di tutto potresti voler rinominare le funzioni nei tuoi modelli al plurale in quanto non ne ha una ma molte dalla relazione.

Quindi nel tuo modello utente aggiungi questo:

public function kids()
{
    return $this->belongsToMany(Kid::class);
}

E nel tuo modello Kid:

public function users()
{
     return $this->belongsToMany(User::class);
}

Quindi, per salvare nella tabella pivot poiché la denominazione della tabella è corretta, basta fare:

$user->kids()->attach($kid);

Lo salverà correttamente nella tabella pivot. Assicurati prima di avere User e Kid esistenti per le variabili. Maggiori dettagli qui