Guida ai dati gerarchici di MySQL - Metodo della tabella di chiusura

Nella tua dichiarazione INSERT nel trigger Libary_Update hai la seguente riga:

WHERE subtree.`ancestor` = NEW.`iD`

ma non stai aggiornando il campo ID, quindi non penso che avrai un valore NEW.iD. Quella riga dovrebbe usare invece OLD.iD?