Semplice script Ajax Jquery:come posso ottenere informazioni per ciascuna delle righe della tabella?

La vecchia estensione MySQL mysql è obsoleto, usa meglio mysqli o PDO !

mysql_fetch_row() restituisce solo 1 riga! Devi metterlo in un ciclo, ad esempio:

$data = array();
while ( $row = mysql_fetch_row($result) )
{
  $data[] = $row;
}
echo json_encode( $data );

Devi anche cambiare JavaScript:

$.ajax({                                      
  url: 'api.php', data: "", dataType: 'json',  success: function(rows)        
  {
    for (var i in rows)
    {
      var row = rows[i];          

      var id = row[0];
      var vname = row[1];
      $('#output').append("<b>id: </b>"+id+"<b> name: </b>"+vname)
                  .append("<hr />");
    } 
  } 
});

A proposito, ti consiglierei di usare mysql_fetch_assoc() perché rende il tuo codice più flessibile e più pulito.