chiamata a una funzione membro execute() su un non oggetto

$stmt dovrebbe essere un oggetto con il metodo execute() .
Sembra $this->db->prepare() non restituisce il buon risultato.

Se $this->db è un mysqli() oggetto dovresti associare i parametri così:

if ($stmt = $this->db->prepare('SELECT libelle,activite,adresse,tel,lat,lng FROM etablissements where type IN (?)')) {
  $stmt->bind_param("s", $in_list);
  $stmt->execute();
  // ...
}