Cercando di ottenere la proprietà di un non oggetto in

Consulta il manuale per mysql_fetch_object() . Restituisce un oggetto, non un array di oggetti.

Immagino che tu voglia qualcosa del genere

$results = mysql_query("SELECT * FROM sidemenu WHERE `menu_id`='".$menu."' ORDER BY `id` ASC LIMIT 1", $con);

$sidemenus = array();
while ($sidemenu = mysql_fetch_object($results)) {
    $sidemenus[] = $sidemenu;
}

Potrei suggerirti di dare un'occhiata al DOP. PDOStatement::fetchAll(PDO::FETCH_OBJ) fa quello che pensavi mysql_fetch_object() fare