specificando $ posizione push nella raccolta utilizzando Pymongo

Stai usando l'operatore di aggiornamento sbagliato. Quello che ti serve è il $set update operator e il posizionale $ operatore di aggiornamento.

db.collection.update_one(
    {'class.className': 'cse131'},
    {'$set': {'class.$.time': '3:30'}} # or {'class.$.status': 'pass'}
)