Come si utilizzano gli operatori di aggregazione in una corrispondenza $ in MongoDB (ad esempio $year o $dayOfMonth)?

Come hai già scoperto, non puoi $match su campi che non sono nel documento (funziona esattamente nello stesso modo in cui funziona trova) e se usi prima $project allora perderai la possibilità di usare gli indici.

Quello che puoi fare invece è combinare i tuoi sforzi come segue:

{
    aggregate: 'posts',
    pipeline: [
         {$match: {
             created_date : 
                  {$gte:{$date:'2012-09-01T04:00:00Z'}, 
                  $lt:  {date:'2012-10-01T04:00:00Z'} 
                  }}
             }
         },
         {$group:
             {_id: '0',
              totalComments:{$sum:'$comments'}
             }
          }
    ]
 }

Quanto sopra ti dà l'aggregazione solo per settembre, se desideri aggregare per più mesi, puoi ad esempio:

{
    aggregate: 'posts',
    pipeline: [
         {$match: {
             created_date : 
                  { $gte:'2012-07-01T04:00:00Z', 
                    $lt: '2012-10-01T04:00:00Z'
                  }
         },
         {$project: {
              comments: 1,
              new_created: {
                        "yr" : {"$year" : "$created_date"},
                        "mo" : {"$month" : "$created_date"}
                     }
              }
         },
         {$group:
             {_id: "$new_created",
              totalComments:{$sum:'$comments'}
             }
          }
    ]
 }

e riceverai qualcosa come:

{
    "result" : [
        {
            "_id" : {
                "yr" : 2012,
                "mo" : 7
            },
            "totalComments" : 5
        },
        {
            "_id" : {
                "yr" : 2012,
                "mo" : 8
            },
            "totalComments" : 19
        },
        {
            "_id" : {
                "yr" : 2012,
                "mo" : 9
            },
            "totalComments" : 21
        }
    ],
    "ok" : 1
}