Conta gli elementi dell'array che soddisfano la condizione

Devi usare $filter aggregazione per filtrare l'external origine e internal origine insieme a $size aggregazione per calcolare la lunghezza degli array.

Qualcosa del genere

db.collection.aggregate([
  { "$addFields": {
    "internalUsersCount": {
      "$size": {
        "$filter": {
          "input": "$participants",
          "as": "part",
          "cond": { "$eq": ["$$part.origin", "internal"]}
        }
      }
    },
    "externalUsersCount": {
      "$size": {
        "$filter": {
          "input": "$participants",
          "as": "part",
          "cond": { "$eq": ["$$part.origin", "external"] }
        }
      }
    }
  }}
])

Uscita

[
  {
    "conferenceName": "myFirstConference",
    "endDate": 1535722420,
    "externalUsersCount": 1,
    "internalUsersCount": 1,
    "startDate": 1535722327
  }
]