È possibile impostare una procedura memorizzata in modo che venga sempre eseguita come utente specifico?

Vuoi utilizzare EXECUTE AS nella definizione SP.

CREATE PROCEDURE dbo.MyProcedure
WITH EXECUTE AS 'domain\user'
AS
...

In alternativa, puoi eseguire solo determinati comandi come utente all'interno della SP:

EXECUTE AS USER = 'Domain\User'
  <Commands>
REVERT

La seconda opzione potrebbe essere preferibile nella tua situazione per evitare di concedere un altro accesso al database.