Problema di confronto della data di MySQL?

Metti i valori della tua data tra virgolette singole poiché sono stringhe letterali, altrimenti MySQL non può dire che è una data e non il numero (2011 MINUS 1 MINUS 1 =2009).

Non hai nemmeno bisogno dei cast DATE() attorno a loro.

SELECT 
  *
FROM
  shortleavedetails
WHERE
  employee_code = '17'
AND
  (DATE(authorizeddate) <= '2011-01-01'
   AND
   DATE(authorizeddate) >= '2010-05-01')