Come passare il nome di un input tramite la richiesta GET in PHP

Non c'è nessun <form> incapsulando l'input elementi. Inoltre hai usato un <input type="submit" ... > elemento anziché tag di ancoraggio per inviare i dati inseriti dall'utente a itemedit.php pagina. Quindi cambia il tuo for loop nel modo seguente,

for($i=1;$i<=$menuSet->GetMenuItems();$i++){ 
    $func = "GetMenuLink".$i;
    ?>
        <tr>
            <form action="itemedit.php?i=<?php echo $i; ?>" method="post">
        <td>$i</td>
        <td><input type='text' name='e' value='<?php echo $menuSet->$func(); ?>'/></td>
        <td>
            <input type='submit' value='Edit' class='glyphicon glyphicon-pencil' />&nbsp; 
            </form>
            <a title='Remove' href='itemdelete.php?i=<?php echo $i; ?>'><span class='glyphicon glyphicon-remove'></span></a>
        </td>
        </tr>
    <?php
}

E in itemedit.php pagina, elaborare i dati inviati del modulo nel modo seguente,

if (isset($_GET['i'])){
    $i = $_GET['i'];
    $e = $_POST['e'];
    $editItem = new Menus();
    // update the menu items
    $editItem->EditMenuItem($i,$e);
    ...

Aggiornamento(1):

La tua dichiarazione preparata e bindParam() anche la chiamata al metodo è sbagliata. Dovrebbero essere così:

$adm = $this->db->prepare("UPDATE menu_nav SET menu_link_$i = ?");
$adm->bindParam(1, $e, PDO::PARAM_STR);