Questo è un problema di lacune e isole. Puoi risolverlo con le funzioni della finestra (disponibili solo in MySQL 8.0):
select
person,
min(act_date) start_date,
max(act_date) end_date
from (
select
t.*,
sum(act_date <> lag_act_date + interval 15 minute)
over(partition by person order by act_date) grp
from (
select
t.*,
lag(act_date)
over(partition by person order by act_date) lag_act_date
from mytable t
) t
) t
group by person, grp
order by min(act_date)
L'idea è quella di costruire gruppi di record adiacenti utilizzando una somma cumulativa:ogni volta che c'è un gap che non è di 15 minuti, la somma aumenta.