Il percorso require è sempre relativo all'elenco di directory definite nell'impostazione del file ini include_path. Quindi di solito non finiresti con un percorso completo ma piuttosto un percorso relativo dal valore include_path. Nota che puoi impostare l'impostazione include_path in PHP dall'interno del file httpd.conf se ti piace in modo simile a quello che hai fatto con l'impostazione php_flag nel tuo esempio.
Riesco a malapena a leggere la tua schermata, ma penso che la risposta per l'alimentazione del cucchiaio sia:
aggiungi questa riga alla tua configurazione di apache:
php_value "include_path" "/Users/ratthijs/Desktop/PushChatServer/api"
E poi potresti semplicemente dire:
require_once('api.php');
