In che modo un costruttore di classi figlio interagirà con un costruttore di classi padre in php?

Se il costruttore della classe figlia non fa altre cose, puoi omettere il costruttore.

Solo il seguente va bene:

class CheckOut extends DB_MySQL{
}

Ma se il costruttore della classe figlia ha bisogno di fare qualche altro lavoro, sì, devi fare:

class CheckOut extends DB_MySQL{

    public function __construct($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname) 
    {
        parent::__construct($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname);
        do_some_other_work();
    }
}

Quando lo usi, devi chiamare entrambi:

$checkout = new CheckOut($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname);