Dall'errore che hai pubblicato suppongo che tu abbia una sorta di dipendenza da MySQL mancante.
_mysql.c:44:10: fatal error: my_config.h: No such file or directory
44 | #include "my_config.h"
| ^~~~~~~~~~~~~
Guardando la pagina github per mysqlclient forse potresti provare a eseguire:
sudo apt-get install python3-dev default-libmysqlclient-dev build-essential
Nella mia esperienza, manca un .h file generalmente significa che manca una libreria di sviluppo dal tuo computer di cui ha bisogno l'estensione python
