Come utilizzare le caselle di controllo per recuperare dati specifici in un database

Vedo almeno 2 errori nel tuo codice.

1. i valori dell'array associativo di $column_names dovrebbero essere passati come nomi di campo, quindi presumo che non siano corretti, poiché ci sono degli spazi (e come so che wordpress per impostazione predefinita non ha tali nomi di campo.

2. se una selezione è fornita dall'utente, stai aggiungendo alcuni nomi di campo extra a quelli passati dall'utente e hai due punti dopo di loro, quindi genererà un errore.

Riscriverei il codice in questo modo

<?php
$all = false;
$column_names = array('1' => '`field1`', '2' => '`field2`', '3' => '`field3`');
if(isset($_POST['columns'])){
    $column_entries = $_POST['columns'];
    $sql_columns = array();
    foreach($column_entries as $i) {
        if(array_key_exists($i, $column_names)) {
            $sql_columns[] = $column_names[$i];
        }
    }
    $sql_columns[] = "authorss";
    $sql_columns[] = "research_source";
    $sql_columns[] = "research_title";
} else {
    $all = true;
    $sql_columns[] = "*";
}

Inoltre, come hai detto, $wpdb->get_results restituisce già i risultati - array, ecco perché ottieni gli errori. Inoltre prima di chiamare mysql_fetch_assoc è meglio controllare se il parametro passato è reource e se il numero di righe non è 0.

if($result!==false && mysql_num_rows($result)>0){
    while( $row = mysql_fetch_assoc($result)){
        ...
    }
}  

*********** AGGIORNAMENTO ***************

in base alle ultime modifiche prova questo codice:

<?php
$all = false;
$column_names = array('1' => '`authorss`', '2' => '`research_source`', '3' => '`research_title`');
if(isset($_POST['columns'])){
    $column_entries = $_POST['columns'];
    $sql_columns = array();
    foreach($column_entries as $i) {
        if(array_key_exists($i, $column_names)) {
            $sql_columns[] = $column_names[$i];
        }
    }
} else {
    $all = true;
    $sql_columns[] = "authorss";
    $sql_columns[] = "research_source";
    $sql_columns[] = "research_title";
}

global $wpdb;

//DNI CHECKBOX + ALL
$tmp = $wpdb->get_results( "SELECT ".implode(",", $sql_columns)." FROM wp_participants_database"); 


echo "<table border='1' style='width:450px'>
    <tr>
    <th>authorss</th>
    <th>research_source</th>
    <th>research_title</th>";
foreach($column_names as $k => $v) { 
    if($all || (is_array($column_entries) && in_array($k, $column_entries)))
        echo "<th>$v</th>";
}
echo "</tr>";

if(count($tmp)>0){
    for($i=0;$i<count($tmp);$i++){
        echo "<tr>";  
            foreach($tmp[$i] as $key=>$value){
                echo "<td>" . $value . "</td>";   
            }
            foreach($column_names as $k => $v) { 
                if($all || (is_array($column_entries) && in_array($k, $column_entries))) {
                    echo "<th>".$row[$v]."</th>";
                }
            }
        echo "</tr>";
    }
}

echo '</table>';
?>