La chiamata Ajax restituisce l'intera pagina anziché solo il valore echo

Sì! È necessario rimuovere qualsiasi codice HTML nel file connect_db.php. Consiglio di memorizzare una variabile in quel file controllando se la connessione è andata a buon fine. Ad esempio:

connect_db.php

$isConnected = false;
$dbError = "";
if ($dbc=mysqli_connect('localhost','*****','*****','ff') {
    $isConnected = true;
} else {
    $dbError = mysqli_connect_error();
}

altri file

require("connect_db.php");

if($isConnected) {
    //DO ALL YO STUFF!!
} else {
    //HANDLE THE ERROR AS YOU LIKE, LIKE PRINTING IT OUT
    echo $dbError;
}

In questo modo potrai gestire la logica del DB nei tuoi file se non riesce a connettersi in modo da poter gestire le connessioni non riuscite con garbo.