Mysql - Come posso ordinare i risultati alternando (1,2,3, 1, 2, 3, 1, 2, 3,) righe, è possibile?

Usa:

SELECT x.client_id, 
       x.project_id,
       x.project_name
  FROM (SELECT t.client_id,
               t.project_id,
               t.project_name,
               CASE
                 WHEN @client_id != t.client_id THEN @rownum := 0
                 WHEN @client_id = t.client_id THEN @rownum := @rownum + 1
                 ELSE @rownum 
               END AS rank,
               @client_id := t.client_id
          FROM TABLE t,
               (SELECT @rownum := 0, @client_id
      ORDER BY t.client_id) r) x
ORDER BY x.rank, x.client_id

MySQL non ha alcuna funzionalità di ranking, ma fortunatamente puoi usare le variabili. La chiave stava reimpostando il valore @rownum quando client_id non corrisponde al client_id precedente:ORDER BY nella sottoquery serve per garantire che i client siano in ordine.