Avvertimento:mysql_num_rows() si aspetta che il parametro 1 sia una risorsa, dato booleano

Questo perché mysql_query a volte restituisce boolean false (errore di query). Devi verificarlo:

$amn = mysql_query("SELECT * FROM `Messages` WHERE to_user='$usr' AND read='0'");

if($amn === false) {
    var_dump(mysql_error());
}
else {
    print_r(mysql_num_rows($amn));
}

Il codice sopra è scritto in cattivo stile e deprecato. Usa PDO con eccezioni in progetti reali.