ORA-01027:vincolare le variabili non consentite per la definizione dei dati quando si tenta di utilizzare if elseif

Come dice l'errore, non puoi usare le variabili di collegamento qui, quindi devi concatenare:

create or replace procedure create_dates_testing 
    ( dummy_variable varchar2 default to_char(sysdate,'YYYYMMDD') )
as
    day_of_month varchar2(255) := extract(day from sysdate);
    today varchar2(255) := to_char(sysdate +1, 'fmDAY', 'nls_date_language = English');
    start_date date;
    next_start_date date;
begin
    if today = 'SUNDAY' then
        -- select yesterday
        start_date      := trunc(sysdate) - interval '1' day;
        next_start_date := trunc(sysdate);

    elsif day_of_month = 3 then
        -- select the whole of last month
        start_date      := trunc(sysdate, 'MM') - interval '1' month;
        next_start_date := trunc(sysdate, 'MM') - interval '1' month;
    else
        return;
    end if;

    execute immediate 'drop table new_customers';

    execute immediate 'create table new_customers as 
    select id, client_name, invoice_date 
    from clients table
    where transactiondate >= date '''  || to_char(start_date,'YYYY-MM-DD') ||
    ''' and transactiondate < date ''' || to_char(next_start_date,'YYYY-MM-DD') ||'''';

end create_dates_testing;

Presumibilmente ci sarà del codice in più per gestire il caso in cui non è né domenica né il terzo del mese, o il new_customers la tabella non esiste.

Modifica:aggiunto else condizione per terminare l'elaborazione se nessuna delle condizioni di data è soddisfatta.