Come ottenere il nome della classe del driver (non il nome del driver) dalla connessione jdbc

Penso che il meglio che puoi sperare sia:

DriverManager.getDriver(ds.getConnection().getMetaData().getURL()).getClass();

I metadati dovrebbero restituire l'URL per questa connessione e il prefisso URL dovrebbe essere registrato con DriverManager (in modo univoco).