Data non inviata a MySQL

Prova ad aggiungere segni di spunta intorno al campo della data nella tua query. A condizione che tu sia SICURO che l'input sia in formato Y-m-d, molto probabilmente risolverà il tuo problema:

$date = date("Y-m-d", strtotime($_POST['date']));
$result = mysqli_query($link,"INSERT INTO visit_exclude_dates (date) VALUES ('{$date}')");

if(!$result) {
    echo "Error: " . $link->error);
    die();
}

$result->close();
$link->close();