Impossibile connettersi al database SQL - C#, VS2012, SQL Server 2012

Data Source=adamssqlserver

è sbagliato, dovrebbe essere:

Data Source=lpc193\adamssqlserver

Questo può essere visto nello screenshot di Esplora server che hai allegato. La tua stringa di connessione sta cercando un computer che chiama "adamssqlserver", mentre il tuo database è un'istanza denominata sul tuo computer, che si chiama "lpc193", quindi è indirizzata come lpc193\adamssqlserver