Opzione 1:
Crea una tabella temporanea intermedia con tutte le colonne restituite da sp, quindi esegui questa operazione:
INSERT INTO Temp
Exec [Test_Sp] 23;
Poi
INSERT INTO @testTbl(Name,Age)
select name,age from temp
Opzione 2:
Modifica il tuo sproc e aggiungi un altro parametro del tipo di dati bit @limitedcolumnIf @limitedcolumn=true restituisce solo le colonne obbligatorie altrimenti restituisce tutte le colonne
INSERT INTO @testTbl(Name,Age) EXEC [Test_Sp] 23,true;